片持ばりのせん断力、曲げモーメント及び曲げたわみ

問１３　図のように、長さＬの片持ち梁ばり（一端固定、他端自由の梁）が、その自由端に鉛直方向の集中荷重Ｐを受ける場合において、梁の材質・断面寸法を変えずに、Ｌ及びＰを２倍にしたときに梁に生じるせん断力、曲げモーメント及び曲げたわみ（曲げモーメントによるたわみ）の最大値の変化の組合せとして、正しいものは（１）～（５）のうちどれか。

ただし、梁の断面は長さ方向に一様で、自重は無視するものとする。

また、せん断力、曲げモーメント及び曲げたわみは、いずれも弾性範囲内のものとする。

正答（１）

【解説】

片持ち梁に関する問題は、今回よりかなり難易度は低いが、2013 年度問 14 で出題されている。このときは、最大曲げ応力の計算式を示した上で、２つの条件の場合の最大曲げ応力の関係を問うものであった。

2013 年の当時は、このレベルの難易度のそれほど高くない問題が出題されていたのである。最近では、過去問と同じ範囲からの出題は多いが、かなり内容が高度になっている。過去問の学習をするときに「過去問が正解できればＯＫ」と考えていたのでは合格はできない。過去問を確実に理解し、自分のものにしておかなければ合格は難しい。その典型的な例が本問である。

本問の場合、ヤング率を $E$、断面二次モーメントを $I$、梁の先端からの距離を $x$とすると、せん断力 $Q$ は、定義により、

$$Q=-P$$

である。そして、曲げモーメント $M$ は、

$$M=-Px$$

となる。この公式は覚えておかなければならない。従って、最大の曲げモーメントは、$x$ が $L$ のときであるから、$-PL$となる。

また、曲げたわみ $y$ は、

$$y=\left(\frac{-PL}{2EI}\right)x^2+\left(\frac{P}{6EI}\right)x^3$$

となる。この公式も覚えておく必要がある。従って、最大の曲げたわみは、$x$ を $L$ に置き換えて、

$$-\frac{P{L}^3}{3EI}$$

となる。

以上より、$L$ 及び $P$ を２倍にすれば、せん断力は２倍、曲げモーメントは４倍、曲げたわみは１６倍となる。

2026年01月08日執筆