問２３ ある労働災害について FTA（Fault Tree Analysis）を実施したところ、当該災害発生を頂上事象とし、基本事象をＡ、Ｂ、Ｃ及びＤとする次の FT 図が展開できた。これらの基本事象が相互に独立して起こるとき、この頂上事象の最小カット集合を全て挙げたものは（１）～（５）のうちどれか。
ただし、最小カット集合は、頂上事象を生起させる最小限の基本事象の集合を意味する。
（１）｛Ａ，Ｂ｝及び｛Ｃ，Ｄ｝
（２）｛Ａ，Ｂ｝、｛Ｃ｝及び｛Ｄ｝
（３）｛Ａ｝、｛Ｂ，Ｃ｝及び｛Ｄ｝
（４）｛Ａ｝、｛Ｂ｝及び｛Ｃ，Ｄ｝
（５）｛Ａ｝、｛Ｂ｝、｛Ｃ｝及び｛Ｄ｝
※ イメージ図（©photoAC）
このページは、２０２３年の労働安全衛生コンサルタント試験の「産業安全一般」問題の解説と解答例を示しています。
解説文中の法令の名称等は、適宜、略語を用いています。また、引用している法令は、読みやすくするために漢数字を算用数字に変更するなどの修正を行い、フリガナ、傍点等を削除した場合があります。
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| 2023年度(令和05年度) | 問２３ | 難易度 | ＦＴＡに関する問題は、毎年のように出題される。図のゲートの意味さえ分かっていれば正答可能である。 |
|---|---|---|---|
| ＦＴＡ | ３ |
※ 難易度は本サイトが行ったアンケート結果の正答率に基づく。
５：50％未満 ４：50％以上60％未満 ３：60％以上70％未満 ２：70％以上80％未満 １：80％以上
問２３ ある労働災害について FTA（Fault Tree Analysis）を実施したところ、当該災害発生を頂上事象とし、基本事象をＡ、Ｂ、Ｃ及びＤとする次の FT 図が展開できた。これらの基本事象が相互に独立して起こるとき、この頂上事象の最小カット集合を全て挙げたものは（１）～（５）のうちどれか。
ただし、最小カット集合は、頂上事象を生起させる最小限の基本事象の集合を意味する。
（１）｛Ａ，Ｂ｝及び｛Ｃ，Ｄ｝
（２）｛Ａ，Ｂ｝、｛Ｃ｝及び｛Ｄ｝
（３）｛Ａ｝、｛Ｂ，Ｃ｝及び｛Ｄ｝
（４）｛Ａ｝、｛Ｂ｝及び｛Ｃ，Ｄ｝
（５）｛Ａ｝、｛Ｂ｝、｛Ｃ｝及び｛Ｄ｝
正答（２）
【解説】
試験解答状況
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１ ブール代数による解き方
（１）基本的な考え方
本問では、カット集合の定義は示されているので、ゲートの意味さえ分かれば単純な作業で正答できる。
まず、FT 図の頂上事象を、そのまま各基本事象の式で表す。これは図をそのまま式で表せばよい。
次に、その式を、それを最小単位の和の形に単純化すればよい。このとき、同じ基本事象が式の中に複数表れると、後の処理がしにくいので、出来る限り一つの基本事象は複数表れないようにする必要がある。
（２）単純に頂上事象を、そのまま各基本事象の式で表す
まず、各基本事象を変数として式で表すには、図のままで次のようにすればよい。AND ゲートと OR ゲート（※）しか用いられていないのであるから、単純に数式化が可能である。
※ JIS C 5750-4-4：2011「ディペンダビリティマネジメント − 第 4-4 部：システム信頼性のための解析技法 − 故障の木解析（FTA）」の付属書Aの「表A.1−FT図で一般的に用いる記号」によれば、AND ゲートは「入力事象の全てが生じる場合に、出力事象が生じる
」、OR ゲートは「入力事象のうちのいずれかが生じる場合に、出力事象が生じる
」と定義されている。
- 基本的な考え方
- AND ゲートの入力は「積」で表す。
- OR ゲートの入力は「和」で表す。
すなわち、頂上事象 E0,0 は、基本事象 A、B、C によって次のような式で表せる。
E0,0=E1,1+E1,2+E1,3
=(A·B)+(E2,1+C)+(D+C)
=(A·B)+((B·D)+C)+(D+C)
（３）式の単純化
これを単純な和の形で表現するには、ブール代数の記本則を用いる。これにはいくつかの公式がある。
- 幅等則
- A·A=A
- A+A=A
- 交換則
- A·B=B·A
- A+B=B+A
- 結合則
- (A·B)·C=A·(B·C)
- (A+B)+C=A+(B+C)
- 吸収則
- A·(A+B)=A
- A+A·B=A
- 分配則
- (A+B)·(A+C)=A+(B·C)
- (A·B)+(A·C)=A·(B+C)
- 共有項則
- A+A·B=A+B
- A·(A+B)=A·B
- A·B+B·C+A·C=A·B+A·C
- (A+B)·(B+C)·(A+C)=(A+B)·(A+C)
- ド・モルガンの定理
- A+B=A·B
- A·B=A+B
※ Aは not A の意味。A·Aは常に０となり、A+Aは常に１となる。
これらの公式を使って、先ほどの式を単純化すればよい。といっても単純な式なので分配則以下は使用する必要はない。
E0,0=(A·B)+((B·D)+C)+(D+C)
=(A·B)+(B·D)+C+D+C（結合則による）
=(A·B)+(B·D)+D+C（幅等則による）
=(A·B)+D+C（吸収則による）
従って、最小カット集合は、｛Ａ，Ｂ｝、｛Ｃ｝及び｛Ｄ｝となり、（２）が正答となる。
２ 実際の試験会場での解き方
本図は単純なものであり、実際の試験会場では、ブール代数を用いるまでもなく、簡単に回答できる。まず、基本事象Ａは中間事象 E1,1 にしか関わっていない。そして、中間事象 E1,1 の手前で基本事象Ｂとともに、AND ゲートに入っているので、単独で頂上事象に影響を与えることはない。従って、（３）、（４）及び（５）は正答とはなり得ない。
次に基本事象Ｃと基本事象Ｄであるが、中間事象 E1,3 に OR ゲートで入っており、その出力は OR ゲートを通して頂上事象に入っているので、それぞれ単独で最小カット集合になり得る。従って、それだけで（２）が正答となることが分かる。