Fault Tree Analysis

問２３　ある労働災害の発生について分析したところ、当該災害発生を頂上事象とし、基本事象をＡ、Ｂ、Ｃ及びＤとする次のＦＴ図が展開できた。これらの基本事象が相互に独立して、また等しい確率で起こるとき、Ａ～Ｄの基本事象のうちのいずれか一つの発生を防止することによる当該災害の発生確率の低減効果に関する次の記述のうち、適切なものはどれか。

（１）Ａの発生を防止することは、Ｂの発生を防止することよりも効果が大きい。

（２）Ｂの発生を防止することは、Ｃの発生を防止することよりも効果が大きい。

（３）Ｃの発生を防止することは、Ｄの発生を防止することよりも効果が大きい。

（４）Ｄの発生を防止することは、Ａの発生を防止することよりも効果が大きい。

（５）Ｄの発生を防止することは、Ｂの発生を防止することよりも効果が大きい。

正答（３）

【解説】

１　基本的な考え方

本問は正答の（３）と解答した方が、誤答の（２）と解答した方を１名上回ったが、（３）と（２）の解答がほぼ均衡した。他の選択肢を解答した方もおられるので、正答率が５割を切るという難問であった。

ただ、じっくりと時間をかければ必ず正答できるので、本番前に過去の Fault Tree Analysis の問題をすべて解いて、確実に正答できるようにしておいて頂きたい。

解答方法はいくつかある。スマートなやりかたでなくとも、力づくで構わないので解けるようにしておこう。

２　理論式を用いた解法

最初に、理論式を用いた解法を示そう。本問のＦＴ図の災害発生確率F₀を式で表すと次のようになる。ただし、F_A～F_D は、基本要素 A～D の発生確率である。

F₀＝（F_A or F_B）･（（F_B･F_D）or F_C）

ここで基本事象 A を防止したときの頂上事象が発生する確率 F_A＝0 は、F_A がゼロになるので、

F_A＝0＝F_B･（（F_B･F_D）or F_C）

となる。このままでは F_B が２箇所に表れるので使いづらいため、式を変形して F_B をひとつだけにしよう。

F_A＝0＝F_B･F_B･F_D or F_B･F_C

ここで、F_B･F_B は F_B に等しいので、

F_A＝0＝F_B･F_D or F_B･F_C

　　 ＝F_B･（F_D or F_C）

となる。同様に、基本事象 B を防止したときの頂上事象が発生する確率 F_B＝0 は、F_B がゼロになるので、

F_B＝0＝F_A･F_C

となる。同様に、基本事象 C を防止したときの頂上事象が発生する確率 F_C＝0 は、

F_C＝0＝（F_A or F_B）･F_B･F_D

　　 ＝F_A･F_B･F_D or F_B･F_B･F_D

　　 ＝F_A･F_B･F_D or F_B･F_D

　　 ＝F_B･F_D･（F_A or １）

ここで（F_A or １）は１であるから、

　　 ＝F_B･F_D

となる。最後に、基本事象 D を防止したときの頂上事象が発生する確率 F_D＝0 は、

F_D＝0＝（F_A or F_B）･F_C

となる。ここまでで、各基本事象を防止した場合の式を、それぞれ同じ基本事象の重複がないように表すことができた。各基本事象が発生する確率は同じで、かつ独立である^（※）から、各事象の発生確率をR（0≦R≦1）で表すと、［R or R］は【1－（1－R）･（1－R）＝2R－R²】、［R･R］は【R²】となるので、

※　ひとつの式の中に同じ基本要素が２個以上含まれていたら、同じ基本要素は当然に独立ではないから、複数の同じ基本要素に単純に R を代入してはならない。

F_A＝0＝２R²－R³

F_B＝0＝R²

F_C＝0＝R²

F_D＝0＝２R²－R³

R は１より小さいので、F_B＝0＝F_C＝0＞F_A＝0＝F_D＝0 となり、正答は（３）となる。ここが分かり難ければ、R に 0.1 など適当な数値を代入して計算してしまってもかまわない。電卓はあるのだから。

３　表を用いたやや力づくの解法

分かり難ければ、コンサルタント試験は時間が足りなくなるということはないので、この種の問題は表にしてしまうというやりかたもある。

そして、各基本事象が起きる確率をRとして考えてみよう。１つの事象が発生する確率がRだと、１つの事象が発生せず２つの事象が同時に発生する確率は R²（1－R）、３つの事象が同時に発生する確率は R³であるから、

○　基本事象Ａの発生を防止すると、頂上事象Ｅが起きるのは、ｉ（ｉは３事象が同時に発生しているので発生する確率は R³。以下同様）、ｊ（発生確率は R²（1-R））、ｋ（発生確率は R²（1－R））の３ケースなので、２R²－R³ となる。

○　基本事象Ｂの発生を防止すると、頂上事象Ｅが起きるのは、ｅ（発生確率は R³）、ｆ（発生確率は R²（1－R））の２ケースなので R² となる。

○　基本事象Ｃの発生を防止すると、頂上事象Ｅが起きるのは、ｃ（発生確率は R³）、ｋ（発生確率は R²（1－R））の２ケースなので R² となる。

○　基本事象Ｄの発生を防止すると、頂上事象Ｅが起きるのは、ｂ（発生確率は R³）、ｆ（発生確率は R²（1－R））、ｊ（発生確率は R²（1－R））の３ケースなので２R²－R³ となる。

先ほどと同じ結果となった。もっとも、基本要素が５つ以上になると、この表にする方法は難しいかもしれない。

４　肢（２）が誤りだと見破るには

本問は（２）と解答した方が多かった。その理由は分からないが、これを誤りだと見破るには次のように考えるとよいかもしれない。

まず、基本要素 B の発生を防止した場合を考えよう。この場合、図の中で基本要素 B に１を入れてみよう。中間事象 E1,1 は基本要素 A そのものになる。そして、中間事象 E2,1 は起こりようがなくなる。従って、中間事象 E1,2 は基本要素 C に等しくなる。

従って、頂上事象 E0,0 の発生確率は、F_A＝0 or F_C＝0となる。

まず、基本要素 C の発生を防止した場合を考えよう。この場合、基本要素 C は起きないのだから中間事象 E1,2 は中間事象 E2,1 と等しくなる。

そして、中間事象 E2,1 は無視してよいのである。なぜなら、基本要素 B が発生しない限り中間事象 E2,1 は発生し得ない。そして、基本要素 B が発生すれば、中間事象 E2,1 がどうなっていようと、頂上事象 E0,0 は発生するのである。従って、基本要素 B が発生しているときも発生していないときも、中間事象 E2,1 には意味がないのである。おそらく、受験生の多くはここを見誤ったものであろう。

従って、頂上事象 E0,0 の発生確率は、F_A＝0 or F_B＝0となる。

各基本要素の発生確率は同じであるから、基本要素 B の発生を防止した場合（頂上事象 E0,0 の発生確率は、F_A＝0 or F_C＝0）も、基本要素 C の発生を防止した場合（頂上事象 E0,0 の発生確率は、F_A＝0 or F_B＝0）も効果は同じである。

従って、（２）は誤りである。

2022年12月04日執筆