片持ばりの曲げ応力

問１４　図１のように均質で長さ方向に一様な断面を有する長さEの片持ばり（一端固定、他端自由のはり）の自由端に力 $\mathit{P}$ をかけたとき、はりの曲げモメントは固定端で最大となり、はりの自重を無視するとき最大曲げ応力 $\mathit{\sigma }$ は、次式で表わされる。

材質及び長さが同一で断面の形状及び寸法が図２のように異なる２種類の片持ばりAとBの自由端に同一の力をかけたとき、それぞれに生じる最大曲げ応力 ${\mathit{\sigma }}_A$ と ${\mathit{\sigma }}_B$の比$（{\mathit{\sigma }}_A／{\mathit{\sigma }}_B）$は、（１）～（５）のうちどれか。

（１）４

（２）２

（３）１

（４）1/2

（５）1/4

正答（４）

【解説】

問題文に $\mathit{\sigma }$ の求め方は書かれているので、梁はりの断面係数 $\mathit{Z}$を求める方法を知っているかどうかだけの問題である。

断面が長方形の梁の断面係数 $\mathit{Z}$ は、幅を $\mathit{b}$、高さを $\mathit{h}$ とすると次式で表される。

$$\mathit{Z}=\frac{{\mathit{bh}}^2}{6}$$

従って、梁Aの場合、$\mathit{h}=2\mathit{a}$、$\mathit{b}=a/2$ であるから、${\mathit{Z}}_A$ は次のようになる。

$${\mathit{Z}}_A=\frac{{\mathit{a}}^3}{3}$$

また、梁Bの場合、$\mathit{b}=\mathit{h}=\mathit{a}$ であるから、${\mathit{Z}}_B$ は次のようになる。

$${\mathit{Z}}_B=\frac{{\mathit{a}}^3}{6}$$

そして、問題文で与えられている式から最大曲げ応力 $\mathit{\sigma }$ は梁の断面係数 $\mathit{Z}$ の逆数に比例するから、${\mathit{\sigma }}_A／{\mathit{\sigma }}_B$ は1/2となる。

2021年01月24日執筆